Los matemáticos han reinventado la rueda...
21 DE JUNIO DE 2024
amigoquieroeso.com. Formas 3D de ancho constante. Al parecer, también los hay en dimensiones superiores.
No satisfechos con las formas ya conocidas en 2 o 3 dimensiones, los matemáticos han descubierto ahora “formas de ancho constante” en cualquier número de dimensiones espaciales, que ruedan como una rueda a pesar de no ser redondas.
Los matemáticos han reinventado la rueda al descubrir formas que pueden rodar suavemente cuando se colocan entre dos superficies, o incluso en cuatro, cinco o cualquier otro número mayor de dimensiones espaciales.
El descubrimiento responde a una pregunta que los investigadores han estado debatiendo durante décadas.
Estos objetos se conocen como formas de ancho constante , y los más familiares, en dos y tres dimensiones, son el círculo y la esfera . Sin embargo, estas no son las únicas formas de este tipo…
Un ejemplo es el triángulo de Reuleaux , un triángulo con aristas curvas que es el ejemplo más simple de los llamados polígonos de Reuleaux, explica New Scientist .
Momet/Wikipedia. triangulo de reuleaux
Otro ejemplo muy conocido (al menos en el Reino Unido) es la forma heptagonal con curvas equiláteras de las monedas de 20 y 50 peniques. En este caso, el hecho de que tengan un ancho constante les permite desplazarse en las máquinas de monedas y ser reconocidos independientemente de su orientación .
Básicamente, estas formas tienen un área o volumen menor que un círculo o una esfera de ancho equivalente (2 y 3 dimensiones), pero hasta ahora no se sabía si lo mismo podría ocurrir en dimensiones superiores.
Esta pregunta fue planteada por primera vez en 1988 por el matemático israelí-estadounidense Oded Schramm , quien se preguntaba si podría haber objetos de ancho constante más pequeños que una esfera más grande .
Aunque las formas con más de tres dimensiones son imposibles de visualizar, los matemáticos pueden definirlas ampliando lógicamente las formas 2D y 3D .
Por ejemplo, así como un círculo o una esfera es el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia constante de un punto central , lo mismo ocurre en dimensiones superiores.
“A veces los fenómenos más fascinantes se descubren cuando miramos a dimensiones cada vez más elevadas”, afirma Gil Kalai , investigador de la Universidad Hebrea de Jerusalén en Israel.
Ahora, Andrii Arman , investigador de la Universidad de Manitoba en Canadá, y sus colegas han respondido a la pregunta de Schramm y han descubierto un conjunto de formas de ancho constante, en cualquier dimensión , que son efectivamente más pequeñas que una esfera de tamaño equivalente .
Arman y sus colegas trabajaron en el problema durante años, en reuniones semanales, tratando de encontrar una manera de construir estas formas antes de encontrar una solución. "Se podría decir que cansamos este problema hasta que se dio por vencido ", dice.
La primera parte de la prueba consiste en considerar una esfera con n dimensiones y luego dividirla en 2 n partes iguales, es decir, cuatro partes para un círculo , ocho para una esfera 3D, 16 para una esfera 4D, etc.
Luego, los investigadores estiran y comprimen matemáticamente estos segmentos para cambiar su forma sin cambiar su ancho .
"La receta es muy sencilla, pero sólo nos dimos cuenta después de toda nuestra elaboración", dice Andriy Bondarenko , miembro del equipo de la Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología.
El equipo demostró que siempre es posible realizar esta distorsión para obtener una forma que tenga un volumen como máximo 0,9n veces mayor que el de la esfera de tamaño equivalente.
Esto significa que a medida que uno avanza hacia dimensiones cada vez mayores , la forma de ancho constante se vuelve proporcionalmente cada vez más pequeña en comparación con la esfera.
Es difícil visualizar este fenómeno , pero un truco consiste en imaginar la silueta de bajas dimensiones de un objeto de altas dimensiones. Cuando se ve desde ciertos ángulos, la forma 3D aparece como un triángulo de Reuleaux 2D .
Andriy Prymak et al. 2024/SageMath/Danylo Rádchenko. Una forma 3D de ancho constante vista desde tres ángulos diferentes. La vista central se asemeja a un triángulo de Reuleaux 2D.Asimismo, la forma 3D puede verse como una “sombra” de la forma 4D , y así sucesivamente. "Las formas en dimensiones superiores serán, en cierto sentido, similares, pero su complejidad aumentará a medida que aumente la dimensión", dice Arman.
Una vez identificadas estas formas, los matemáticos ahora esperan estudiarlas más a fondo. "Incluso con el nuevo resultado, que elimina parte del misterio sobre ellos, son conjuntos muy misteriosos en grandes dimensiones ", dice Kalai.
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