LAS MATEMÁTICAS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Avelino Vicente

Doctor en Física

Amenudo contamos las teorías científicas tal y como aparecen en los libros de texto actuales, olvidándonos del largo camino que tuvieron que recorrer hasta llegar a su forma final. En su elaboración, una teoría científica suele pasar por errores, momentos de confusión y caminos que no conducen a ninguna parte. Así fue también el desarrollo de la mecánica cuántica. Desde el pistoletazo de salida que supuso la hipótesis cuántica de Planck hasta la teoría que hoy estudiamos en las facultades de Física pasaron tres décadas. Y, como no podía ser de otra forma, hubo planteamientos muy diversos, en algunos casos incluso excluyentes. Eventualmente, las diversas formas de la incipiente mecánica cristalizaron en unos postulados matemáticos que en la actualidad sirven de base para toda la teoría cuántica.

Hace aproximadamente cien años, a mediados de los años 20 del siglo pasado, la física cuántica era un batiburrillo de ideas, trucos de cálculo e hipótesis diversas, conectadas entre sí de un modo u otro, pero sin unos sólidos cimientos sobre los que fundamentarse. Además, había dos grandes escuelas con unos planteamientos sobre la teoría cuántica aparentemente enfrentados. La escuela liderada por Einstein ponía el foco en el comportamiento dual onda-corpúsculo observado en la luz y tenía como objetivo construir una teoría en la que la materia y la radiación fueran descritas como ondas. Por otro lado, la escuela liderada por Bohr hacía hincapié en el carácter discreto de los espectros atómicos y daba una mayor importancia al concepto de «salto cuántico» que él mismo había introducido en su modelo del átomo. Ambos planteamientos podían dar cuenta de algunos fenómenos, pero fracasaban en otros. En este contexto iba a darse no una, sino dos revoluciones para la teoría cuántica.

En 1925, Werner Heisenberg se encontraba buscando una forma de calcular la intensidad de las líneas espectrales del hidrógeno. Cuando un átomo emite luz no lo hace en todas las frecuencias posibles, sino en unas muy específicas que pueden usarse para identificarlo. Entender la razón detrás de dichas frecuencias y ser capaces de calcular la intensidad de cada una de ellas era un problema abierto en ese momento. El hidrógeno es el átomo más sencillo, así que parecía razonable empezar por él. Con el objetivo de huir del polen, al que tenía alergia, Heisenberg se retiró a la isla alemana de Helgoland, en el mar del Norte, donde se concentró absolutamente en el problema de las líneas espectrales. Tras darle muchas vueltas, descubrió que la clave podía estar en in- troducir en sus cálculos ciertas cantidades que se multiplicaban de una forma un tanto peculiar y no conmutativa, es decir, para las que A x B no es igual que B x A”. Esto le dejó algo perplejo, pero como todo parecía encajar, decidió escribir un artículo científico con sus hallazgos. A su vuelta a Göttingen, mostró sus resultados a sus colegas Max Born y Pascual Jordan, quienes inmediatamente reconocieron la presencia de matrices en las ecuaciones de Heisenberg, algo que le había pasado completamente desapercibido. Tras este descubrimiento, Heisenberg, Born y Jordan trabajaron juntos en la elaboración de una mecánica cuántica que usara matrices para describir las cantidades observables. Su gran triunfo fue la creación de la mecánica matricial.

También en 1925, y de forma independiente a Heisenberg y sus colegas, el austriaco Erwin Schrödinger se encontraba trabajando en la ecuación que llevaría su nombre. En su caso, la motivación y el punto de partida eran bien distintos. Para Schrödinger, la clave para construir una teoría cuántica completa se hallaba en la naturaleza ondulatoria de la luz y la materia. El francés Louis De Broglie ya había dado pasos decisivos en esta dirección al mostrar que era posible reproducir los resultados del modelo atómico de Bohr suponiendo que los electrones se comportaban como una onda estacionaria. Inspirado por este prometedor resultado, Schrödinger se propuso encontrar una ecuación de ondas que describiera el comportamiento del electrón. Las ecuaciones de ondas son bien conocidas en el campo de las matemáticas, por lo que Schrödinger conocía la estructura de la ecuación buscada. Guiado por varias analogías y razonando de forma heurística, eventualmente encontró una ecuación con las propiedades deseadas. La incógnita de dicha ecuación era la famosa función de onda, sobre la que actuaban derivadas de varios tipos, justo de la forma que una ecuación de ondas exige. Para saber si su trabajo iba por buen camino, aplicó su ecuación al átomo de hidrógeno, que se había convertido en el banco de pruebas de cualquier teoría que aspirara a ser la nueva mecánica cuántica. Pese a las dificultades matemáticas, Schrödinger fue capaz de resolver la ecuación que él mismo había planteado y obtener las líneas espectrales del átomo de hidrógeno. Su resultado reproducía exactamente los niveles energéticos del modelo de Bohr. La mecánica ondulatoria acababa de nacer.

En la primavera de 1926 teníamos dos mecánicas cuánticas centradas en aspectos muy distintos del mundo microscópico y con lenguajes completamente diferentes. La mecánica matricial de Heisenberg ponía el foco en las cantidades discretas y usaba un formalismo matemático basado en las matrices, asociadas al área del álgebra, mientras que la mecánica ondulatoria de Schrödinger estaba escrita utilizando cantidades continuas y ecuaciones diferenciales, propias del área del análisis matemático.

La comunidad se encontraba dividida en dos bandos. En el primero se encontraban figuras como Bohr o Pauli, que aceptaban sin problemas la mecánica matricial, más moderna. El segundo, más favorable a la mecánica ondulatoria, tenía entre sus filas al mismísimo Einstein, quien consideraba el formalismo matricial un galimatías en el que no se podía confiar. El problema eran las matemáticas. Frente al oscuro lenguaje de las matrices y el álgebra lineal, desconocido para los físicos de la época, se encontraba el familiar lenguaje de las ecuaciones diferenciales, empleado durante siglos para estudiar fenómenos ondulatorios. Era, por lo tanto, natural que aquellos con una formación más «clásica» se inclinaran claramente por los métodos de Schrödinger.

Y, sin embargo, ambas teorías conducían al mismo resultado cuando se aplicaban a los problemas de interés para la comunidad científica del momento. Esto, obviamente, era muy sospechoso. Si bien estaban escritas con planteamientos matemáticos en principio muy diferentes, el hecho de que coincidieran tan plenamente en sus predicciones era muy sugerente. En el ambiente flotaba una pregunta: ¿no serán realmente la misma teoría?

El primer paso hacia la unificación de las dos versiones de la mecánica cuántica lo dio el propio Schrödinger. En primer lugar, mostró que era posible reescribir su famosa ecuación en términos de unos operadores diferenciales que actúan sobre la función de onda. Esta idea ya la había tenido previamente Born, pero no le había sacado partido. El resultado de aplicar dichos operadores sobre la función de onda depende del orden en que se actúa con ellos, del mismo modo que el producto de dos matrices depende del orden en que aparecen. Eso le permitió asociar una matriz a cada operador, estableciendo de este modo un paralelismo entre las funciones continuas de su mecánica ondulatoria y las matrices discretas de la mecánica matricial. La conclusión a la que llegó Schrödinger fue que la coincidencia entre las predicciones de ambas mecánicas no era una casual: ¡eran la misma teoría!

El paso dado por Schrödinger, pese a su gran importancia, no era definitivo. Había demostrado que era posible partir de su mecánica ondulatoria y llegar a la mecánica matricial, pero no el proceso inverso. Esto en matemáticas es crucial y no podemos hablar de equivalencia completa entre dos conceptos si el camino entre ellos no puede recorrerse en ambos sentidos. Para demostrar una equivalencia absoluta entre ambas teorías era necesario ir más allá y establecer un marco matemático común del que ambas puedan emerger.

Los pasos finales hacia la unificación de ambas mecánicas los dieron el británico Paul Dirac y el húngaro-estadounidense John von Neumann. Tanto Dirac como Von Neumann eran matemáticos de formación, lo que hizo que contaran con el entrenamiento y los conocimientos apropiados para enfrentarse al problema. En perspectiva, es evidente que los físicos de la época no estaban armados con las herramientas necesarias para profundizar en la esencia matemática de la mecánica matricial y hallar las claves que permitían mostrar su equivalencia con la mecánica ondulatoria.

Dirac fue el primero en recorrer este camino. Tras una serie de artículos en los que dio los primeros pasos, plasmó la culminación de sus ideas en el libro The Principles of Quantum Mechanics («Los principios de la mecánica cuántica»), publicado en Londres en 1930. En esta influyente obra se habló por primera de vez de estados y observables, conceptos comunes de la mecánica cuántica moderna. Además, en versiones posteriores de la misma, Dirac introdujo la famosa notación bra-ket, de uso muy extendido en la actualidad. Sin embargo, su demostración de la equivalencia entre las dos mecánicas no cumplía con el alto nivel de rigor que exigen las matemáticas. Por ejemplo, Dirac sorteó algunas de las dificultades que se encontró usando la famosa «delta de Dirac», un extraño objeto matemático con propiedades contradictorias. Fueron necesarios más de 20 años y el desarrollo de la teoría de distribuciones, un área muy moderna del análisis matemático, para demostrar la validez del procedimiento de Dirac.

Por su parte, Von Neumann estaba completamente insatisfecho ante los aparentes agujeros matemáticos en la demostración de Dirac, así que se propuso dar una nueva vuelta de tuerca y encontrar una demostración absolutamente rigurosa. Armado con las técnicas del abstracto análisis funcional, finalmente alcanzó su meta y demostró sin ninguna sombra de duda (¡ahora sí!) la equivalencia entre las mecánicas matricial y ondulatoria en su tratado Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik («Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica»), publicado en Berlín en 1932. Esta magistral obra culminaba el camino iniciado años atrás por Heisenberg y Schrödinger. Ahora podía afirmarse con rotundidad: ¡la mecánica cuántica se había unificado!

Von Neumann

La unificación conseguida por Dirac y Von Neumann dio paso a la mecánica cuántica que hoy conocemos. Aunque hay muchos aspectos de esta teoría que siguen investigándose en la actualidad, todos ellos descansan sobre los fundamentos matemáticos establecidos por estas dos figuras clave. El marco teórico de la mecánica cuántica moderna se resume en los postulados de la mecánica cuántica, también conocidos como los axiomas de Dirac-Von Neumann. Se trata de media docena de definiciones matemáticas muy precisas. Con ellas se establece qué es un estado cuántico, qué es un observable, qué resultados pueden obtenerse al realizar una medida, qué le sucede al sistema cuando se mide y cómo evoluciona con el paso del tiempo. A partir de este conjunto de definiciones es posible «redescubrir» tanto la mecánica matricial de Heisenberg como la mecánica ondulatoria de Schrödinger. De hecho, de este pequeño conjunto de reglas matemáticas emergen las diversas ideas sobre el mundo microscópico planteadas en las tres décadas precedentes.

La mecánica cuántica moderna es un sólido edificio cimentado sobre las ideas de Bohr, Heisenberg y Schrödinger, sostenido por los fuertes muros levantados por Dirac y culminado con el elegante remate matemático construido por Von Neumann. Sus pilares son los postulados de la mecánica cuántica y sobre ellos descansa una de las teorías más fascinantes que ha creado el intelecto humano.