Ya encontraron una demostración pionera, ahora consigue ampliar hasta diez. Todo basado en la trigonometría.
Dos chicas adolescentes hallan 10 demostraciones alternativas al Teorema de Pitágoras. Fuente: Midjourney / Eugenio Fdz. - Dos chicas afroamericanas estudiando en sus pupitres.
Eugenio M. Fernández Aguilar, Físico, escritor y divulgador científico. Director de Muy Interesante Digital
28.10.2024
El Teorema de Pitágoras es una piedra angular de la geometría que ha cautivado a matemáticos y estudiantes desde hace más de dos mil años. Se trata de una relación que establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a² + b² = c²). Es uno de los resultados más conocidos en la historia de las matemáticas y cualquier persona que lea esto lo ha estudiado en su época de Secundaria. Aunque hay más de 370 demostraciones conocidas, dos estudiantes de secundaria de Nueva Orleans, Ne'Kiya Jackson y Calcea Johnson, han logrado lo que muchos creían imposible: descubrir nuevas soluciones a este teorema, utilizando solo métodos trigonométricos.
El trabajo presentado por Jackson y Johnson ha generado un gran interés en la comunidad matemática, no solo por ser un logro impresionante para estudiantes de secundaria, sino también porque el uso exclusivo de trigonometría en las demostraciones plantea preguntas sobre la relación entre la trigonometría y la geometría clásica. Su artículo titulado “Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem” (Cinco o diez nuevas demostraciones del Teorema de Pitágoras) ofrece cinco soluciones originales, además de un método que puede generar al menos cinco más. Este hallazgo refuerza la i
Un desafío que parecía resuelto
El Teorema de Pitágoras es uno de los pilares fundamentales de la geometría, y sus demostraciones tradicionales se basan en construcciones geométricas, como la comparación de áreas de triángulos o cuadrados. Sin embargo, el enfoque innovador de Jackson y Johnson aporta un nuevo matiz: la utilización exclusiva de la trigonometría, algo que se había considerado difícil o incluso imposible sin hacer uso indirecto del mismo teorema. Sí es cierto que ya existía una fórmula muy conocida en base a esta rama de las matemáticas, el conocida como "fórmula fundamental de la trigonometría"
"Quizás ningún tema en matemáticas genera más confusión y ansiedad entre los estudiantes de secundaria que la trigonometría", comienza el artículo de las adolescentes. Uno de los aspectos más importantes de su trabajo es su distinción entre demostraciones verdaderamente trigonométricas y aquellas que solo parecen serlo. Según Jackson y Johnson, muchos intentos previos de demostrar el Teorema de Pitágoras con trigonometría utilizan la circunferencia unitaria en lugar de las definiciones de triángulos. Esta diferenciación es clave, ya que la trigonometría, en su forma más pura, se basa en la medición de triángulos rectángulos.
Ne’Kiya Jackson (izquierda) y Calcea Johnson (derecha). Fuente: Calcea JohnsonLas demostraciones trigonométricas
Efectivamente, el artículo de Jackson y Johnson expone cinco demostraciones utilizando exclusivamente la trigonometría. En una de las más representativas, las estudiantes comienzan por reflejar un triángulo rectángulo a través de uno de sus lados para crear un nuevo triángulo. Luego, mediante el uso de relaciones entre ángulos y el Teorema del Seno, llegan a la conclusión de que a² + b² = c², sin hacer referencia directa a conceptos geométricos. Este enfoque resalta cómo los principios trigonométricos pueden ser aplicados de manera pura para llegar a resultados conocidos, algo que previamente no había sido explorado en profundidad.
Otra de sus pruebas emplea un razonamiento basado en el uso de series convergentes, aplicando la razón entre los lados de triángulos semejantes para demostrar el resultado. A través de la repetición de patrones y la reducción progresiva de las proporciones entre los lados de los triángulos, logran una demostración elegante que no depende de la geometría clásica.
Las demostraciones del Teorema de Pitágoras suelen basarse en razonamientos geométricos. Fuente: iStock / marekuliasz
El impacto en la comunidad matemática
El descubrimiento de Jackson y Johnson ha generado un impacto notable en la comunidad matemática. No solo por la sorpresa de que estudiantes de secundaria hayan sido capaces de lograr algo que muchos consideraban imposible, sino también porque las implicaciones de su trabajo van más allá de una simple curiosidad matemática. Al haber utilizado exclusivamente trigonometría, han abierto una puerta a nuevas investigaciones sobre cómo los principios trigonométricos pueden ser aplicados en contextos que anteriormente se limitaban a la geometría.
Además, las estudiantes presentaron sus resultados en una conferencia de la Sociedad Matemática Americana (AMS), un logro notable para dos personas tan jóvenes. Esto resalta su talento y la importancia de apoyar y fomentar a los estudiantes en su búsqueda de nuevas formas de pensar y resolver problemas. La conferencia consiguió atraer la atención de destacados matemáticos, y posteriormente las autoras fueron invitadas a publicar su artículo en la prestigiosa revista The American Mathematical Monthly.
La fórmula fundamental de la trigonometría. Fuente: iStock / marekuliasz
La creación de nuevas demostraciones
Una de las aportaciones más significativas del artículo es el método que Jackson y Johnson emplearon para generar nuevas demostraciones. Este enfoque creativo se basa en combinar las propiedades de los ángulos de un triángulo rectángulo para crear nuevas figuras geométricas que conservan las relaciones trigonométricas necesarias para probar el Teorema de Pitágoras. A partir de este método, las autoras fueron capaces de encontrar cinco demostraciones adicionales, que aún no han sido publicadas, pero que podrían ser reveladas en futuros trabajos.
Este proceso de generación de nuevas pruebas no debe entender solo como un testimonio del ingenio de las autoras, va más allá: es una invitación para que otros matemáticos continúen explorando las posibilidades dentro de este enfoque. Las autoras subrayan que este es solo el comienzo, y que su método tiene el potencial de generar incluso más soluciones, animando a los investigadores a seguir desarrollando esta línea de pensamiento.
Eugenio M. Fernández Aguilar
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Referencias
Jackson, N., & Johnson, C. (2024). Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 131(9), 739-752.
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