Un matemático logra lo impensable:
presenta una fórmula universal para resolver ecuaciones consideradas imposibles desde hace casi 200 años
Una nueva técnica matemática permite expresar la solución de ecuaciones diferenciales complejas directamente a partir de sus coeficientes, reabriendo un problema considerado cerrado desde el siglo XIX y conectando análisis funcional con física teórica.
Fuente: ChatGPT + Wikipedia
Eugenio M. Fernández Aguilar
Físico, escritor y divulgador científico
epe/03.02.2026
Las matemáticas avanzadas están llenas de herramientas que permiten describir cómo cambia el mundo: desde el movimiento de un satélite hasta la propagación de una señal eléctrica o la evolución de un sistema económico. Muchas de esas descripciones se apoyan en un tipo concreto de ecuaciones, las ecuaciones diferenciales de segundo orden, que relacionan una magnitud con la forma en que varía y se acelera. Durante casi dos siglos, sin embargo, estas ecuaciones arrastraban una limitación fundamental: no existía una fórmula general que permitiera resolverlas cuando sus parámetros cambian de un punto a otro.
Ese límite histórico acaba de desplazarse. En un artículo publicado en el Vladikavkaz Mathematical Journal, el matemático Ivan D. Remizov presenta un método que permite escribir la solución de este tipo de ecuaciones directamente en función de sus coeficientes, algo que durante generaciones se consideró inalcanzable. El resultado no solo tiene interés teórico, sino que redefine qué significa “resolver” una ecuación diferencial compleja y abre nuevas vías de conexión entre matemáticas, física y métodos computacionales.
De las fórmulas escolares a los límites de la matemática avanzada
En el instituto, resolver una ecuación suele ser un proceso claro y casi automático. Basta con introducir los números adecuados en una fórmula conocida y obtener el resultado. Esa experiencia genera una intuición poderosa: si se conocen los coeficientes, se puede conocer la solución. Pero esa lógica se rompe cuando se pasa a las ecuaciones diferenciales que describen procesos reales.
En estas ecuaciones, los coeficientes no son números fijos, sino funciones que cambian continuamente. Esto hace que la ecuación ya no describa una situación uniforme, sino un sistema que se adapta a cada punto del espacio o del tiempo. En estos casos, los métodos clásicos dejan de funcionar y no existe una receta general comparable a la del discriminante.
Este problema no es nuevo. En 1834, Joseph Liouville demostró que no era posible expresar la solución de estas ecuaciones mediante combinaciones finitas de operaciones elementales y funciones conocidas. A partir de ese resultado, la comunidad matemática asumió que la búsqueda de una fórmula general era inútil. El problema quedó archivado como conceptualmente cerrado durante más de 190 años.
Liouville. Fuente: Wikipedia
Un avance que no contradice el pasado, sino que lo amplía
El trabajo de Remizov no cuestiona el resultado de Liouville. Al contrario, lo respeta plenamente. La clave está en cambiar el marco de juego. En lugar de limitarse a las herramientas clásicas, el autor introduce de forma estructural un nuevo ingrediente: el uso sistemático de límites de procesos iterativos.
Este enfoque permite construir la solución no como una expresión cerrada inmediata, sino como el resultado final de una sucesión de pasos cada vez más precisos. En el paper se resume esta idea con una afirmación clave, que aquí se traduce literalmente: “El presente trabajo muestra que este método puede ser también utilizado para expresar la resolvente del operador y para encontrar la solución de la ecuación diferencial correspondiente”.
Esta frase es técnica, pero su significado puede explicarse de forma sencilla: el autor demuestra que es posible pasar de la ecuación a su solución sin resolverla directamente, utilizando una construcción matemática que converge de manera controlada hacia el resultado correcto.
Qué significa realmente “resolver” una ecuación en este contexto
En matemáticas avanzadas, resolver una ecuación no siempre significa despejar una incógnita con una fórmula corta. En muchos casos, significa construir un procedimiento que garantice llegar a la solución, aunque ese procedimiento implique infinitos pasos.
El objeto central del trabajo es lo que los matemáticos llaman la resolvente de un operador, una herramienta que permite obtener la solución de una ecuación diferencial a partir de los datos que la definen. Tradicionalmente, calcular esta resolvente era extremadamente difícil cuando los coeficientes variaban.
El resultado de Remizov muestra que esta resolvente puede obtenerse como el límite de una sucesión de aproximaciones bien definidas. El paper lo expresa así: “Las transformadas de Laplace de las aproximaciones de Chernoff de una semigrupo C0 convergen a la resolvente del generador de este semigrupo”. Detrás de esta frase está la idea de que un proceso dinámico complejo puede reconstruirse acumulando pasos simples, siempre que se haga de manera ordenada.
Las aproximaciones de Chernoff: muchas piezas pequeñas, un resultado exacto
El corazón del método está en las aproximaciones de Chernoff, una técnica del análisis funcional que permite aproximar la evolución de un sistema mediante la repetición de transformaciones elementales. Cada una de estas transformaciones es sencilla, pero su composición sucesiva reproduce el comportamiento global del sistema.
El avance del artículo consiste en demostrar que este mismo enfoque puede utilizarse no solo para describir la evolución del sistema, sino también para obtener directamente la solución de la ecuación que lo gobierna. Además, el trabajo proporciona estimaciones precisas sobre la velocidad a la que estas aproximaciones se acercan al resultado exacto, un aspecto clave para su uso práctico.
Fuente: ChatGPTEste detalle es importante porque convierte el método en algo más que una curiosidad teórica. Permite saber cuántos pasos son necesarios para alcanzar una precisión determinada, algo esencial si se quiere aplicar el enfoque en cálculos reales o simulaciones.
Una fórmula inspirada en la física cuántica
Uno de los aspectos más llamativos del trabajo aparece cuando se escribe explícitamente la solución final. En lugar de una expresión compacta, surge una fórmula construida como el límite de integrales múltiples cada vez más complejas. Esta estructura recuerda a las llamadas fórmulas de Feynman, muy conocidas en física teórica.
El propio paper lo subraya con claridad: “En el Teorema 5 una solución de una ecuación diferencial ordinaria es por primera vez en la historia de la ciencia representada mediante una fórmula de Feynman”. Esta afirmación, traducida literalmente, señala un punto de contacto inédito entre dos tradiciones matemáticas que hasta ahora habían permanecido separadas.
En términos divulgativos, la idea es que la solución no se obtiene de golpe, sino sumando todas las posibles evoluciones intermedias del sistema, ponderadas de forma precisa. El resultado final no es aproximado: es exacto, aunque se alcance como un límite.
Funciones especiales y nuevas formas de definirlas
El impacto del trabajo va más allá de una ecuación concreta. Muchas funciones importantes de la matemática y la física se definen únicamente como soluciones de ecuaciones diferenciales complejas. Es el caso de las funciones de Mathieu y de Hill, esenciales para describir movimientos orbitales o ciertos comportamientos en aceleradores de partículas.
Hasta ahora, estas funciones no podían escribirse mediante fórmulas explícitas en términos de sus parámetros. El método propuesto permite, al menos en principio, darles una representación directa, aunque sea mediante un proceso límite. Esto cambia la forma en que se entienden estas funciones y facilita su análisis teórico.
En lugar de ser entidades definidas solo por la ecuación que satisfacen, pasan a ser objetos calculables mediante un procedimiento bien especificado, lo que supone un cambio conceptual profundo.
Un nuevo puente entre matemáticas clásicas y física moderna
El trabajo de Remizov también destaca por su capacidad para conectar áreas distintas del conocimiento. Al introducir fórmulas de tipo Feynman en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, el artículo tiende un puente inesperado entre la matemática clásica y la física cuántica.
Además, el propio paper señala que este enfoque puede extenderse a problemas en varias dimensiones, donde aparecen ecuaciones aún más complejas. Esto sugiere que el avance no es un resultado aislado, sino una nueva forma de abordar una familia entera de problemas matemáticos.
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Referencias
Remizov, I. D. Chernoff Approximations of the Solution of Linear ODE with Variable Coefficients. Vladikavkaz Mathematical Journal, 2025, vol. 27, nº 4, pp. 124–135. DOI: https://doi.org/10.46698/a3908-1212-5385-q.
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